こんにちは。デザイン芸人の「デザインや」です。
残さず数えることが好きです。
「3*3」を数える
今回は世間の喧騒をしばし忘れて
「3*3」
この世界に浸って数え上げることにします。
数えるのはもちろん、東京オリンピック・パラリンピックの公式エンブレムに関してです。
※以下「五輪エンブレム」と表記します。
この五輪エンブレムを、3＊3の正方形に区切ります。
＜イメージ＞
┌－┬－┬－┐
｜・｜・｜・｜
｜－＋－＋－｜
｜・｜・｜・｜
｜－＋－＋－｜
｜・｜・｜・｜
└－┴－┴－┘
区切られた格子内の図形1個ずつを「デザイン要素」とみなし、ばらばらに置き直すとします。
さて、全部で何種類の置き方があるでしょうか？
その配置パターンを数えていきます。
謝辞
当記事におけるエンブレムの画像（描画データ）は、次のページから取得しました。ありがとうございます。
- 東京五輪2020エンブレムで学ぶSVG超入門｜qiita.com（2015/08/09付）
- 【数学】東京オリンピックエンブレムの面積を求める｜togetter.com（2015/07/30付）
結論：五輪エンブレム「3*3」組み合わせの数
現状の各パーツをそのまま使うとすると、組み合わせの数は、次のとおりです。
（１）色のない世界
- 向き固定：504通り（＝9×8×7）
- 向き任意：4,032通り
（２）色付きの世界
- 向き固定：10,080通り（＝（１）×20）
- 向き任意：161,280通り（＝（１）×2×20）
（３）パラリンピックとの混合世界
「色なし」の場合
（１）と変化なし。
「色付き」の場合
9つのグリッド全体で、｛オリンピック｝｛パラリンピック｝どちらの要素を採用するかの組み合わせは、
2の9乗＝512通り なので、
- 向き固定：5,160,960通り（＝（２）×512）
- 向き任意：82,575,360通り（＝（２）×512）
条件しだいでまだまだ増やせる
これらの組み合わせは、
- 配色パターンの拡張・応用のさせ方
- 構成要素のラインナップの自由度
しだいで、まだまだ増えます。
素敵です。
はじめに：定義
五輪エンブレムのロゴ部分は、3×3のグリッド（格子）に分けられます。
区切りの線を加えると、こんな感じです。
グリッド（場所）の番号
便宜上、左上から右へ順に番号を振っておきましょう。
＜グリッド番号＞
１・２・３
４・５・６
７・８・９
です。電話のプッシュボタンの並び方と同じです。
「１」～「９」は、この「場所」「位置」の番号です。
この場所に、個々のパーツが置かれる。そんなイメージです。
パーツ（要素）の名前
格子1個単位での「形」に名前を付けておきます。
※まだ「色」は考慮しません
図形のパターンは大別して3種類あります。
- 正方形（square）
- 円（circle）
- 弧（arc）
英単語の頭2文字を取って、正方形は「sq」、円は「ci」と書くことにします。
左：正方形「sq」 右：円「ci」
弧は全部で4パターンあります。
弧の4パターンを分ける基準は次のとおりです（どちらも同じことを言ってます）。
- 円弧で区切られた扇形がどの点に向いて凸か
- 仮想の「円」の一部とすると、2次元平面の第何象限にあるか
この基準で、1～4の番号を振ります。
具体的には、右上の頂点から反時計回りに1,2,3,4です。
五輪エンブレムの要素で言えば、
は、「a2」
は、「a4」です。
配置パターンを数えたい
＜配置パターンの例＞
要するに、こういった図形の各要素をばらばらに置き直すパターンが、全部で何種類あるかを数えたいわけです。
数える１：五輪エンブレム要素の配置【無色版】
まずは、いつもそれを通して世界を見ている「色めがね」をいったん取り去って、色のない世界を考えます。
作成元：www.desmos.com/calculator/avpt8fugxw
ここで問題文を書き換えると、
- 「9つのグリッドに3種類のパーツを配置するパターンを数える」問題
となります。
たとえば五輪エンブレム（色なし版）は、次の模式図のように、
┌－┬－┬－┐
｜a2｜・｜ci｜
｜－＋－＋－｜
｜・｜・｜・｜
｜－＋－＋－｜
｜・｜・｜a4｜
└－┴－┴－┘
グリッド番号「１」「３」「９」にパーツが置かれている状態です。
（１）向き固定
パーツは3種類：「円ci」「弧a2」「弧a4」
ci、a2、a4の3つが置かれるグリッド位置（順不同）は
9*8*7＝ 504通り
（２）向き任意
弧の向きの区別がなくなるので、3つのパーツは2種類となる：
「円ci」と「弧ar」*2
ciの位置×（ar2枚の位置×それぞれの向き）は、
9C1 × ｛ 8C2 × （4×4）｝
＝ 9×｛（8×7/2）×16）＝9×28×16
＝ 4,032通り
※別解
「（１）向き固定」のパターンと比較すると、「a2」「a4」の区別がなくなる。
両者が入れ替わったパターンも同一となり、区別がなくなるから、配置の組み合わせは（１）の半分
504/2＝252
その中で、「ar」2枚の向きのパターンが4×4通りとなるので
252×4×4＝4,032通り
数える２：五輪エンブレム要素の配置【色つき版】
今度は色を付けます。
作成元：www.desmos.com/calculator/avpt8fugxw
中央縦1列に、黒い正方形（Square Black）「sb」が3枚加わった格好です。
問題文を書き換えると、
- 「9つのグリッドに6枚のパーツを配置するパターンを数える」問題
となります。
┌－┬－┬－┐
｜a2｜sb｜ci｜
｜－＋－＋－｜
｜・｜sb｜・｜
｜－＋－＋－｜
｜・｜sb｜a4｜
└－┴－┴－┘
たとえば五輪エンブレム（色つき版）のパーツ配置は、上の模式図のようになります。
これを言葉で表現すると、
- グリッド番号
- 「１」に弧2（金）
- 「３」に円（赤）
- 「９」に弧4（銀）
- 「２」「５」「８」に正方形（黒に近い濃灰）
のパーツが置かれている、という状態です。
これらの要素で、何通りの配置ができるかを数えます。
（１）向き固定
3つのパーツでの「色なしパターン」の組み合わせは「504通り」でした。
色がつくと、残りが「白地」だったところに、組み合わせとして《正方形「sb」を3つ配置するパターン》が加わります
残る6つのグリッドに、正方形「sb」を3つ配置するパターンは、6C3＝20通りですから、
∴ 504 × 20 ＝ 10,080通り
です。
（２）向き任意
色が付いているので、「弧」も色でパーツが区別されます。
向きとしては、
- 円ci（赤）は1通り（＝回転しても変化なし）
- 弧a2（金）は4通り
- 弧a4（銀）も4通り
なので、この3つのパターンは
504（3枚配置：←9*8*7）×4（a2の向き）×4（a4の向き）
＝8,064通り、
で（１）と同じく、残る6つのグリッドのうち、3つに正方形「sb」を配置するパターンは、6C3＝20通りですから、
8,064 × 20 ＝ 161,280通り
となります。
パラリンピックエンブレムの場合
比べると、「地の色」と「正方形」の色が反転して違っているだけです。
よって、「色なし」「色あり」とも五輪エンブレムとまったく同じです。
数える３：オリンピック・パラリンピックの混合パターン
くり返しますと、五輪・パラリンの両エンブレムの違いは、「地の色」と「正方形」の色彩が、白（#FFFFFF）黒（#373737）反転しているだけです。
色なしの場合
色彩を取り除くと五輪エンブレムと区別がありませんので、「数える１」で求めた
- 向き固定：504通り
- 向き任意：4,032通り
から変化なしです。
色付きの場合
どっちが表裏でもいいのですが、
ミックスパターンは「2の9乗」通り
グリッド1枚分のカードの表裏に「オリンピック要素」「パラリンピック要素」が描いてあるカードを想定してみます。
たとえば「正方形」パーツについて
表：黒正方形「sb」 このカードの 裏：白正方形「sw」
という具合です。
表裏をビット列表現してみる
ここで、表裏をビット列で表すことにして、
「五輪エンブレム」を
000
000
000
と表した場合、
「パラリンピックエンブレム」は、（地の色と正方形とを）反転させた
111
111
111
となります。
たとえば、下の表裏の状態をビット列で表現するならば
000
000
001
です。
こういう具合に、順に「表裏」を展開させてゆくと、「エンブレム」パターンだけでも、9つのグリッド全体で｛オリンピック｝｛パラリンピック｝どちらの要素を採用するかの組み合わせは、
9桁のビット列＝2の9乗＝512通り
存在します。
要素個々のグリッド配置パターンごとに、表裏の組み合わせが加わるので、組み合わせの数は（２）の結果を512倍して、
- 向き固定：5,160,960通り（＝ 10,080 × 512）
- 向き任意：82,575,360通り（＝ 161,280 × 512）
となります。
まとめ：素敵な「数理的バリアフリー」
既存のデザイン要素の「手持ちのカード」だけでも、最大で8000万通り以上の配置パターンを作れることがわかりました。
この五輪エンブレムの世界では、概念上「オリンピック」「パラリンピック」の要素が相互に交換可能であり、両者がまったく対等となっています。
数理上とはいえ、完全バリアフリーです。
そこが素敵です。
おわり
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